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Advertencia previa.- Voy a empezar esta introducción teórica al Jazz por... ¡la antigua Grecia! En realidad es que no me animaba a hablar de armonía en el Jazz sin hablar antes sobre las escalas musicales, porque generalmente me exijo a mí mismo tratar las cosas de la forma más completa y rigurosa posible; y en este descenso a los fundamentos me he pasado de frenada y he acabado en el sótano mismo de la música occidental: el momento en que Pitágoras y sus discípulos empezaron a estudiar los sonidos obteniendo como subproducto la música tal y como la conocemos hoy.
Una introducción teórica al Jazz puede resultar completa y perfectamente útil sin este capítulo 0. Para mi gusto es muy curioso e instructivo, pero las personas prácticas se lo pueden saltar sin ningún pudor.
Termino recordando que no soy un experto en nada, y menos en Música, por lo que me expongo a equivocarme de medio a medio. Pido disculpas por adelantado. Quien necesite garantías, puede recurrir al completísimo-aunque-telegráfico libro:
Teoría General de la Música, de Hermann Grabner; y al más práctico:
The Jazz Theory Book, de Mark Levine.
Entre mis múltiples carencias, una muy notable es la de ser casi analfabeto en cuanto a la lectura de partituras: las entiendo, pero me cuesta horrores. Por este motivo, y porque es algo que escapa al alcance de estas notas, no dedicaré ningún artículo a esta materia. No obstante, algún conocimiento mínimo sobre notación musical le presupongo al lector y terminará siendo necesario en algún momento de esta discusión. Para el lector interesado, el libro de Grabner tiene un buen capítulo dedicado a esta cuestión.
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La escala musical básica de la música occidental es la denominada diatónica. Esta escala es tan antigua como que procede de los tiempos de la Escuela Pitagórica (ca. 500 A.C.), escuela filosófica de la Antigua Grecia que estudió entre otras cosas las Matemáticas, la Geometría y la Música. No es de extrañar por tanto que la Música tenga una fuerte base matemática y geométrica.
El sonido, bien sabido es, consiste en vibraciones (ondas) que llegan a nuestro oído habitualmente por el aire (pero sólo porque pasamos la mayor parte de nuestra vida sumergidos en aire; otros medios son posibles: Beethoven, sordo como era, se escuchaba tocando el piano apoyando en éste un bastón y en éste sus dientes, haciendo resonar su propio cráneo y con él su oído interno). La frecuencia de la vibración, en cualquier caso, es lo que determina la altura de un sonido dado: bajas frecuencias se corresponden con sonidos graves y altas frecuencias con sonidos agudos.
Cuando dos sonidos de diferente frecuencia suenan simultáneamente en la mayoría de los casos los percibimos como dos-sonidos-de-diferente-frecuencia-que-suenan-simultáneamente. Pero en ciertas situaciones muy particulares los dos sonidos parecen sonar de forma coherente. Los pitagóricos observaron esto y no dejaron pasar la oportunidad de investigarlo; y lo que encontraron fue lo siguiente: los sonidos casan bien cuando sus respectivas frecuencias se relacionan por una fracción matemática sencilla, y el motivo es tan simple como que en estos casos los picos y valles de cada onda coinciden a intervalos periódicos, produciendo esa sensación de coherencia. Por ejemplo, si tenemos dos sonidos X e Y tales que la frecuencia de Y es doble de la de X (relación 2/1), tenemos:
En este caso particular que usamos como ejemplo la cohesión entre ambos sonidos es tan intensa que nuestro oído prácticamente los percibe como equivalentes; no iguales ni indiscernibles (X es más grave, o Y es más agudo), pero sí equivalentes, como teniendo ambos cierta cualidad común. Los pitagóricos decidieron por tanto que los dos sonidos serían la misma nota musical, y este es el motivo por el que las notas musicales se repiten cíclicamente (do, re, mi, fa, sol, la, si, do, re, mi...). Cada uno de estos ciclos, por estar compuesto de ocho notas (de do a do), se denomina una octava.
Dos anotaciones históricas son casi exigidas aquí. La primera es que los pitagóricos denominaron sus notas con las letras del alfabeto griego; para nosotros la nomenclatura do, re, mi... es más familiar y no afecta a la discusión. La segunda es que los pitagóricos no sabían de vibraciones ni de frecuencias. Ellos usaban un instrumento de (una única) cuerda diseñado específicamente para estas investigaciones y cuyo nombre no podía ser otro que el de monocordio. La particularidad de este instrumento es que la longitud de la cuerda se podía variar arbitrariamente mediante una pieza móvil. Y lo que medían ellos es precisamente la longitud de esta cuerda. Cuando decimos "la relación entre las frecuencias es 2/1" ellos decían "la relación entra las longitudes de la cuerda es 1/2" (esto es, la frecuencia de vibración en inversamente proporcional a la longitud de la cuerda). Pero bueno, hablar de frecuencias está más cerca de la esencia física de la cuestión y para nosotros nos supone un problema.
Pues bien, entre cierta nota do y su octava (la nota de relación 2/1, que para evitar confusiones llamaremos "do(2)") los pitagóricos definieron las siguientes notas cuyas frecuencias se relacionan entre sí como fracciones relativamente simples:
do:
| 1/1 |
re:
| 9/8 |
mi:
| 5/4 |
fa:
| 4/3 |
sol:
| 3/2 |
la:
| 5/3 |
si:
| 15/8 |
do(2):
| 2/1 |
El hecho de que cualquier composición musical se reduzcan en el fondo a estas simples relaciones matemáticas es de una gran belleza formal, ¿no? Lamentablemente no es ésta la escala que usamos generalmente, por presentar algunos problemas que veremos ahora.
En la tabla anterior cada nota se define por su intervalo respecto de do. Examinemos ahora los intervalos entre notas consecutivas:
do-re:
| 9/8 |
re-mi:
| 10/9 |
mi-fa:
| 16/15 |
fa-sol:
| 9/8 |
sol-la:
| 10/9 |
la-si:
| 9/8 |
si-do(2):
| 16/15 |
Como se observa, entre cada dos notas consecutivas pueden aparecer tres tipos de intervalos: 9/8, 10/9 y 16/15. Los dos primeros son aproximadamente iguales (1,12500 y 1,11111) y, por convención, se estableció que este intervalo se denominaría tono. El tercero (16/15 = 1,06667) es considerablemente más pequeño que los anteriores: aproximadamente la mitad, motivo por el cual se le dio el nombre de semitono. Obsérvese por tanto que entre cualesquiera dos notas consecutivas de la escala diatónica existe un intervalo de un tono, excepto entre mi-fa y si-do donde el intervalo es de un semitono.
Claro, a continuación cabe plantearse la introducción de notas intermedias entre los intervalos de tono, de manera que tengamos una nota cada semitono. El problema es que un tono es sólo aproximadamente dos semitonos, por lo que para introducir esta nota intermedia hay dos opciones:
- Subir un semitono (16/15) la nota inferior del intervalo. A esta nota se le da el nombre de la nota inferior con el apellido de sostenido. Gráficamente se representa con el símbolo ♯.
- Bajar un semitono la nota superior del intervalo. A esta nota se le da el nombre de la nota superior del intervalo con el apellido de bemol, lo que se representa con el símbolo ♭.
Añadiendo estas notas intermedias a la escala diatónica se obtiene la denominada escala cromática, que consta de las siguientes notas (se representan junto con su relación de frecuencias respecto de do):
do:
| 1/1 | = 1,00000 |
re ♭:
| 135/128 | = 1,05469 |
do ♯:
| 16/15 | = 1,06667 |
re:
| 9/8 | = 1,12500 |
mi ♭:
| 75/64 | = 1,17188 |
re ♯:
| 12/10 | = 1,20000 |
mi:
| 5/4 | = 1,25000 |
fa:
| 4/3 | = 1,33333 |
fa ♯:
| 45/32 | = 1,40625 |
sol ♭:
| 64/45 | = 1,42222 |
sol:
| 3/2 | = 1,50000 |
la ♭:
| 25/16 | = 1,56250 |
sol ♯:
| 8/5 | = 1,60000 |
la:
| 5/3 | = 1,66667 |
si ♭:
| 225/128 | = 1,75781 |
la ♯:
| 16/9 | = 1,77778 |
si:
| 15/8 | = 1,87500 |
do(2):
| 2/1 | = 2,00000 |
La utilidad de la escala cromática aparece en la operación musical denominada modulación, consistente en trasladar construcciones musicales a una tonalidad distinta. Consideremos por ejemplo un motivo melódico simple compuesto por las notas:
do - mi - sol
Si intentamos trasladar este motivo a una tonalidad diferente, por ejemplo subiendo un tono, tendríamos:
do + 1 tono = re
mi + 1 tono = fa + 1 semitono = fa ♯
sol + 1 tono = la
Esto es:
re - fa ♯ - la
Si lo que quisiéramos, por ejemplo, es bajar un tono:
do - 1 tono = si - 1 semitono = si ♭
mi - 1 tono = re
sol - 1 tono = fa
O sea:
si ♭ - re - fa
Las tres melodías son absolutamente equivalentes, ya que los intervalos entre sus notas constitutivas se mantienen constantes (do-mi = re-fa ♯ = si ♭-re = 2 tonos, etc.). Es la misma melodía sobre una tonalidad distinta; en términos musicales, se dice sobre una clave distinta. Y para esta operación de cambio de clave o modulación no son suficientes, en general, las notas de la escala diatónica, se hacen necesarias estas notas intermedias que sólo están presentes en la escala cromática.
Se apuntaba antes que la escala musical, tal y como la definieron los pitagóricos no es la que usamos actualmente, y ya se empieza a ver por qué. Ciertos instrumentos, como los de la familia del violín o la voz humana, pueden dar tonalidades de una altura arbitraria dentro de su extensión (rango de frecuencias que pueden generar). Pero en la mayoría de instrumentos, en los que las tonalidades de las notas están fijadas, serían necesarias 17 divisiones dentro de cada octava para incorporar todas estas tonalidades necesarias para conseguir la pureza acústica (do, re ♭, do ♯, re, etc.).
Pero incluso en los instrumentos de altura libre, la afinación pitagórica presenta en el ámbito compositivo un problema adicional de difícil solución, y es que algunos de sus intervalos, en particular el de 3ª (do-mi) y el de 5ª (do-sol), intervalos de importancia capital en la armonía, casan mal con el caracter cíclico de la escala. Esto es, una sucesión de 3ªs o 5ªs no encaja exactamente en un número entero de octavas. Considérese por ejemplo la siguiente progresión en intervalos de 5ªs:
do-sol-re(2)-la(2)-mi(3)
Determinemos ahora la tonalidad de mi(3) (en relación al do). Para ello podemos:
- Acumular los intervalos de la progresión en 5ªs: 3/2 * 3/2 * 3/2 * 3/2 = 81/16
- Acumular los intervalos: do-mi, mi-mi(2) y mi-mi(3): 5/4 * 2/1 * 2/1 = 20/4 = 80/16
¡Diantre, no es la misma tonalidad! En este caso, la pureza acústica exige una tonalidad diferente para mi(3) dependiendo de cómo se ha llegado hasta ella; en una aplicación concreta, dependería del contexto armónico o melódico en que usáramos la nota. De nuevo en aquellos instrumentos de
altura libre (violines, voz humana) un ejecutante solvente es capaz de acomodar puntualmente la afinación a los requisitos del pasaje que está interpretando. Pero en la mayoría de los instrumentos, en los que las tonalidades se fijan en el momento de su construcción, o en su afinación posterior, estas variaciones no son posibles. Alrededor del 1.700, cuando
Bach y otros empezaron a escribir composiciones complejas y con fuerte contenido armónico para instrumentos de teclado, se vio claramente que la afinación pitagórica era un problema: aunque da lugar a la consonancia perfecta de sonidos en ciertas situaciones muy concretas, produce resultados defectuosos en muchos otros casos. La pureza acústica daba lugar a limitaciones armónicas: ciertos acordes
no se podían usar.
Para evitar esto, hacia 1.700 se abandonó la afinación pitagórica en favor de un nuevo sistema denominado temperamento igual, o temperado a secas, sistema consistente en:
- Se reduce la escala cromática a 12 notas por la vía de equiparar los sostenidos con los bemoles. Esto es: la tonalidad de las notas do ♯ y re ♭ pasa a ser exactamente la misma. No obstante la denominación variable ♯ / ♭ para una misma tonalidad sigue siendo de utilidad en la práctica de la modulación y la armonía y se mantiene en la actualidad. Las notas con distinto nombre (do ♯ / re ♭) pero idéntica tonalidad se dan en llamar enarmónicas.
- Se divide la octava en 12 intervalos (12 semitonos) de exactamente la misma magnitud: 2^(1/12) = 1,05946. Esta magnitud se aproxima bastante a la del semitono pitagórico (16/15 = 1,06667), como no podía ser de otra forma; pero frente a aquél tiene la virtud de encajar exactamente en la octava.
Con la afinación temperada es posible la modulación en igualdad de condiciones sobre las doce notas de la escala cromática: ya nada suena perfectamente consonante, pero en contrapartida todo suena aproximadamente consonante. Se renuncia a la pureza acústica en algunas situaciones en favor de una calidad acústica aceptable en todas las situaciones.
En la actualidad, todo instrumento moderno empleado en la música occidental estará diseñado para ejecutar una o varias octavas de la escala cromática con afinación temperada. La afinación pitagórica se mantiene, no obstante, de forma residual. Por ejemplo, algunos órganos antiguos de difícil afinación pueden conservar todavía su afinación pitagórica original. En los instrumentos de altura libre, como queda dicho, se puede usar total o parcialmente la afinación pitagórica, pero los instrumentos de notas fijas se ciñen al sistema temperado. En algunos casos particulares, por ejemplo en la guitarra, aunque en general se aplica el sistema temperado algunos ejecutantes pueden alterar levemente la afinación para tocar según la afinación pitagórica cierta composición, lo que mejora el contenido en armónicos y la resonancia del instrumento. Claro, esta alteración sólo operará correctamente en el contexto armónico concreto en que se desarrolle la pieza, y se tiene que modificar cuando vaya a tocarse otra.
Como curiosidad, la referencia que suele usarse para la afinación es la nota la, llamada por este motivo
nota de cámara. En una orquesta sinfónica, suele ser el oboe quien realiza la afinación inicial y a continuación
da la nota al resto de la orquesta como referencia. La frecuencia concreta asignada convencionalmente a la nota de cámara ha ido cambiando a lo largo de la historia; en la actualidad se establece en 440 Hz. El oído humano detecta sonidos entre los 16 y los 20.000 - 30.000 Hz, aunque los sonidos por encima de los 5.000 Hz carecen de valor musical porque resultan difícilmente discernibles por su altura. Entre los 16 y los 5.000 Hz entran aproximadamente ocho octavas (16 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 4.096 Hz), siendo el piano el único instrumento que alcanza esta extensión.
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